Die Mandelbrot-Menge: Das Unendliche auf dem Bildschirm
Der Apfelmann
Haben Sie schon einmal Bilder gesehen, die aussehen wie psychedelische, bunte Strudel, die sich immer weiter verästeln? Oft nennt man die bekannteste dieser Formen den "Apfelmann".
Was aussieht wie moderne Kunst, ist reine Mathematik. Benoit Mandelbrot entdeckte 1980, dass man mit einer simplen Gleichung Universen erschaffen kann.
Die Formel ist so kurz, dass sie auf ein T-Shirt passt:
$$z_{n+1} = z_n^2 + c$$
Kino im Kopf des Computers
Wie funktioniert das? Man nimmt eine Zahl $c$ (einen Punkt auf dem Bildschirm). Man setzt sie in die Formel ein, quadriert sie und addiert sie wieder. Das Ergebnis setzt man erneut ein. Und wieder. Und wieder.
Man macht das tausende Male (Iteration).
Bleibt die Zahl klein und stabil? Dann gehört der Punkt zur Menge (schwarz).
Explodiert die Zahl ins Unendliche? Dann gehört sie nicht dazu (bunt gefärbt, je nachdem, wie schnell sie explodiert).
Ein einfacher Rechner würde hier aufgeben, aber Computer können Millionen dieser Punkte berechnen und daraus ein Bild weben.
Selbstähnlichkeit: Das Prinzip der Natur
Das Unfassbare passiert, wenn man in das Bild hineinzoomt. Man entdeckt am Rand der Figur winzige Kopien der gesamten Figur. Und an deren Rändern wieder noch winzigere Kopien.
Es hört niemals auf. Man kann unendlich tief zoomen und findet immer neue, komplexe Strukturen, die sich ähneln, aber nie exakt gleich sind.
Mandelbrot nannte das Fraktale.
Er erkannte: Die Natur baut genau so.
Ein Farnblatt besteht aus kleinen Blättern, die aussehen wie das große Blatt.
Eine Wolke sieht aus wie viele kleine Wolken.
Der Blumenkohl (Romanesco) ist ein perfektes essbares Fraktal.
Wie lang ist die Küste von England?
Mandelbrot stellte eine berühmte Frage: "Wie lang ist die Küste von Großbritannien?"
Die Antwort ist paradox: Es kommt darauf an, wie genau man misst.
Misst man mit einem 100km-Lineal, ist sie kurz (man überspringt Buchten).
Misst man mit einem 1m-Lineal, muss man jeden Felsen umrunden -> sie wird länger.
Misst man mit einer Lupe jedes Sandkorn, wird sie gigantisch.
Mathematisch gesehen ist die Küstenlinie ein Fraktal und damit fast unendlich lang. Diese Erkenntnis hilft heute Grafikern, realistische Berge in Videospielen zu generieren, und Antennen-Designern, leistungsfähige Handy-Antennen auf kleinstem Raum zu bauen.
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